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      摘要：為了更好地實(shí)現(xiàn)螺旋錐齒輪精密數(shù)控加工，結(jié)合螺旋錐齒輪加工特點(diǎn)，在歐式線性空間中建立了數(shù)控加工模型及誤差補(bǔ)償模型。補(bǔ)償模型為二級(jí)補(bǔ)償機(jī)制，以齒面誤差作為判斷依據(jù)，通過對(duì)機(jī)床安裝調(diào)整誤差的補(bǔ)償和加工過程中運(yùn)動(dòng)誤差的補(bǔ)償及時(shí)修正加工質(zhì)量。由此，通過逐齒動(dòng)態(tài)補(bǔ)償，使得加工過程中機(jī)床誤差得到修正，齒面加工精度得到提升。經(jīng)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該方法可實(shí)現(xiàn)連續(xù)軌跡運(yùn)動(dòng)中的多軸協(xié)調(diào)，有效提高螺旋錐齒輪數(shù)控加工機(jī)床的加工精度。
  
   
      ０　引言

     螺旋錐齒輪是空間自由曲面，需要五軸、六軸聯(lián)動(dòng)加工，加工誤差具有實(shí)時(shí)變化的隨機(jī)性且對(duì)齒面不同部位誤差的影響也有大小和正負(fù)之分 。理論齒面上任意一點(diǎn)的齒面誤差可以認(rèn)為是機(jī)床各軸微小變化引起的齒面誤差的疊加 。
 
 
      在車間中，通常采用離線誤差測(cè)量而后依據(jù)經(jīng)驗(yàn)手動(dòng)調(diào)整的方法對(duì)初始齒坯安裝和機(jī)床定位參數(shù)進(jìn)行定性修正。隨著數(shù)字化制造理論與技術(shù)的發(fā)展，齒面誤差補(bǔ)償研究多集中在初始安裝參數(shù)對(duì)接觸區(qū)形狀位置的影響分析上 。
 

     但在實(shí)際加工過程中，不確定影響因素所引起的實(shí)時(shí)加工路徑變化對(duì)齒面精度存在很大影響。可是，受機(jī)床結(jié)構(gòu)的影響，在螺旋錐齒輪加工機(jī)床上建立實(shí)時(shí)補(bǔ)償系統(tǒng)很困難。例如，五軸或六軸耦合運(yùn)動(dòng)增加了反饋補(bǔ)償算法的復(fù)雜度；加工空間小妨礙了實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)設(shè)備的安裝調(diào)試。
 
  
     為此，本文采用機(jī)床精度設(shè)計(jì)和運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定兩種途徑對(duì)齒輪產(chǎn)品精度進(jìn)行初步估算，在已有安裝誤差補(bǔ)償基礎(chǔ)上建立一種可實(shí)時(shí)監(jiān)控反饋調(diào)整的機(jī)床控制策略，以提高系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，增強(qiáng)各軸間運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)與參數(shù)匹配能力，實(shí)現(xiàn)螺旋錐齒輪精密數(shù)控加工。

  
  
     １　基于集合理論的精度分析方法

     定義１　集合Ａ 為映射ｆ 的定義域，記為Ｄ（ｆ）。

     
  
     使用基于集合理論的精度分析方法，可將螺旋錐齒輪精密數(shù)控加工誤差補(bǔ)償方法描述為：建立對(duì)加工過程誤差的補(bǔ)償策略，以縮小定義域Ａ的波動(dòng)范圍，經(jīng)過函數(shù)ｆ映射，得到最小的產(chǎn)品質(zhì)量波動(dòng)空間Ｂ。定義域的波動(dòng)空間由兩部分誤差造成：一部分為安裝調(diào)試過程各軸的安裝誤差，另一部分為動(dòng)態(tài)加工過程中各軸的重復(fù)定位誤差。

     ２　螺旋錐齒輪數(shù)控加工模型

     本文選取國產(chǎn)ＹＫ２２７５數(shù)控銑齒機(jī)（圖１）為對(duì)象，以格里森齒制螺旋錐齒輪滾切法數(shù)控加工大輪為例，進(jìn)行具體研究。數(shù)控加工的基本原理就是保證切齒過程中刀軸（或砂輪軸）與工件軸在任一瞬時(shí)的相對(duì)位置與傳統(tǒng)加工時(shí)相同，運(yùn)動(dòng)關(guān)系相同。

                          圖１　ＹＫ２２７５數(shù)控銑齒機(jī)
      １．床身　２．Ｘ 軸工作臺(tái)　３．　Ｙ 軸工作臺(tái)　４．刀盤５．Ｚ 軸工作臺(tái)　６．工件主軸　７．工件
   
 
      ２．１　含誤差的齒面模型
 
 
     基于多體系統(tǒng)理論描述機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，為其各部分編號(hào)，如圖１所示。令大地編號(hào)為０，將銑齒機(jī)系統(tǒng)分為兩個(gè)分支：① 床身、Ｘ 軸工作臺(tái)、Ｙ 軸工作臺(tái)、刀盤，銑齒刀；② 床身、Ｚ 軸工作臺(tái)、工件主軸、工件。

     依據(jù)ＹＫ２２７５型螺旋錐齒輪銑齒機(jī)各個(gè)部件之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，建立包含機(jī)床幾何誤差的相鄰體變換矩陣如下。

     （１）刀盤與Ｙ 軸工作臺(tái)之間變換矩陣為

    （６）Ａ 軸工作臺(tái)與Ｂ 軸工作臺(tái)之間變換矩陣為

     ２．２　齒面離散
 

     在工程實(shí)際測(cè)量中，通常沿齒寬方向取９排齒面點(diǎn)，每排取５個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，在齒面上均勻地取４５個(gè)點(diǎn)，建立全齒面的離散曲面［８?９］，如圖２所示。本文的齒面離散方法正是基于這種思想，以已建立的齒面模型為基礎(chǔ)，在齒面上選取ｍ×ｎ個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)作為數(shù)字化齒面。具體做法為：將理論齒面向過齒輪軸線的某一平面旋轉(zhuǎn)投影，形成拓?fù)淦矫妫辉谠?/font>

                
 
                           圖２　離散齒面
 

     拓?fù)淦矫嫔先↓X寬和齒高方向分別為Ｘ 軸和Ｙ軸，其上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)齒面點(diǎn)的法向誤差值為該點(diǎn)的Ｚ坐標(biāo)值，形成新曲面。新曲面上點(diǎn)的位置按照下式進(jìn)行計(jì)算：

  
     ２．３　映射函數(shù)推導(dǎo)
 
 
     各軸誤差依據(jù)拉丁超立方抽樣法［１０］ 進(jìn)行模擬，抽樣區(qū)間為［－０．０１，０．０１］，平移量單位為ｍｍ，旋轉(zhuǎn)量單位為（°）。每項(xiàng)誤差擬合樣本數(shù)為１０，且在區(qū)間內(nèi)均勻分布。抽樣過程可分為單軸誤差影響分析和綜合誤差分析兩步進(jìn)行。各軸位置誤差與運(yùn)動(dòng)誤差對(duì)齒面誤差的映射關(guān)系記為影響系數(shù)ＭＧ：

     依據(jù)擬合樣本計(jì)算齒面各點(diǎn)齒形偏差，選用一階、二階或更高階次回歸方程進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合 。經(jīng)過擬合結(jié)果分析對(duì)比，一階模型預(yù)測(cè)效果較差，三階模型預(yù)測(cè)誤差比二階模型稍大。所以，本文選用二階模型公式

     作為映射函數(shù)，描述幾何誤差綜合作用對(duì)齒形造成的影響。
 
 
     ２．４　誤差補(bǔ)償算法
 
 
     在大輪加工過程中，Ｘ軸、Ｙ 軸、Ｚ軸的運(yùn)動(dòng)始終描述刀盤原點(diǎn)相對(duì)于工件原點(diǎn)的位置矢量。Ｂ軸保持固定角度，保證切削出根錐角。Ａ 軸按照搖臺(tái)滾輪的滾比關(guān)系做輪坯回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，此外，在一個(gè)齒加工完成后，做分度運(yùn)動(dòng)。數(shù)控加工模型如下：
 
 
     

     其中，Ｘ軸、Ｙ 軸、Ｚ軸運(yùn)動(dòng)的第一項(xiàng)均為機(jī)床基本參數(shù)調(diào)整的常數(shù)項(xiàng)，與機(jī)床結(jié)構(gòu)與被加工齒輪具
 
  
     

     誤差，分析整理出齒面誤差變化曲線圖。隨后，將誤差變化曲線作為補(bǔ)償模型輸入，計(jì)算數(shù)控機(jī)構(gòu)中Ｘ、Ｙ、Ｚ、Ａ、Ｂ 軸動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)修正值，并將其作為補(bǔ)償模型的輸出，實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)加工過程中齒面誤差的補(bǔ)償。
 
 
     圖３為控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖。

     
  
  
      ３　仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

      輪的動(dòng)態(tài)加工過程。參照表１中齒輪副幾何參數(shù)、機(jī)床調(diào)整參數(shù)，建立的理論齒面如圖４ａ所示，采用離散齒面的形式；隨機(jī)選取第５齒作為研究對(duì)象，由不同機(jī)床幾
何誤差生成不同的誤差齒面，如圖４ｂ～圖４ｄ所示，分別為Ｙ 軸直線運(yùn)動(dòng)誤差引起的誤差齒面、Ａ軸回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)誤差引起的誤差齒面以及Ｂ 軸定位誤差引起的誤差齒面。

                         表１　齒輪幾何參數(shù)與機(jī)床調(diào)整參數(shù)

       
 
                            圖４　理論齒面與誤差齒面

 
　    依據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)ＧＢ／Ｔ１１３６５－８９，選取單周節(jié)偏差描述齒面加工精度。如圖５所示，其定義為分度圓上，實(shí)際齒廓上一點(diǎn)的位置與相鄰齒同側(cè)齒廓點(diǎn)的位置之間的距離與理論值間的距離的差。計(jì)算公式如下：

                           圖５　齒形偏差定義
 

     式中，ｄＴ為公差直徑，即中點(diǎn)錐距處與工作齒高中點(diǎn)相交處的直徑；ｍ 為中點(diǎn)法向模數(shù)，即在中點(diǎn)錐距處法平面上節(jié)圓直徑與齒數(shù)的比值；ｂ為精度等級(jí)。
 
　 　表２顯示了實(shí)時(shí)補(bǔ)償值與補(bǔ)償后的齒面單周節(jié)偏差。按照式（１７）計(jì)算可知，補(bǔ)償前，齒面精度為６級(jí)，補(bǔ)償后齒面精度達(dá)到４級(jí)。仿真結(jié)果證明，采用螺旋錐齒輪加工誤差補(bǔ)償策略，可以明顯提高螺旋錐齒輪五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控系統(tǒng)的加工精度。
 
 
                             表２　機(jī)床參數(shù)動(dòng)態(tài)調(diào)整示例

     ４　結(jié)論
 
 
   （１）依據(jù)機(jī)床精度與齒面加工質(zhì)量間的映射關(guān)系數(shù)學(xué)模型，建立兩級(jí)數(shù)控加工誤差補(bǔ)償模型，對(duì)加工過程不確定因素對(duì)齒面造成的加工質(zhì)量誤差進(jìn)行了有益補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)了齒面輪廓補(bǔ)償控制，提高了齒面各點(diǎn)位置精度，能夠使產(chǎn)品更好地滿足齒輪設(shè)計(jì)精度要求。
 
 
     （２）利用非線性最小二乘優(yōu)化方法求解齒面上各點(diǎn)誤差最小以及該時(shí)刻機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)修正量最優(yōu)解。該方法能夠準(zhǔn)確有效地將齒面誤差補(bǔ)償分解到各軸運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償中。
 
 
     （３）為提高模型的準(zhǔn)確性，可重復(fù)加工過程，對(duì)加工出的齒輪齒面誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析計(jì)算，建立誤差范圍與修正值的關(guān)系。另外，將建立運(yùn)動(dòng)軸變化與齒面接觸區(qū)變化的關(guān)系模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)接觸區(qū)的動(dòng)態(tài)修正。