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螺旋銑孔主軸單元的動態(tài)特性分析

2020-3-6 來源：東北大學(xué)秦皇島分校控制工程學(xué)院作者：張金明王健宇王海艷汪志堅(jiān)

摘要: 螺旋銑孔加工過程中，刀具在自轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)上公轉(zhuǎn)并保持軸向進(jìn)給，是適合于航空工業(yè)典型難加工材料的先進(jìn)制孔工藝技術(shù)。根據(jù)螺旋銑孔的加工原理設(shè)計(jì)了螺旋銑孔專用主軸單元，其典型特征為三轉(zhuǎn)子、雙偏心結(jié)構(gòu)及具有類似于行星輪系的自轉(zhuǎn)公轉(zhuǎn)系統(tǒng)。對修改的整體傳遞矩陣方法建立該主軸單元的動態(tài)模型進(jìn)行研究，分析了主軸單元的固有頻率特性，并通過有限元軟件進(jìn)行了驗(yàn)證。采用靈敏度方法對影響主軸動態(tài)特性的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行了分析。結(jié)果顯示，軸承跨距、軸承剛度及單元總長度對于主軸單元的動態(tài)特性有顯著影響。

關(guān)鍵詞: 螺旋銑孔; 主軸; 整體傳遞矩陣; 固有頻率

螺旋銑孔是近幾年出現(xiàn)的適用于航空領(lǐng)域典型難加工材料的先進(jìn)制孔工藝技術(shù)，有著廣泛的應(yīng)用前景。便攜式螺旋銑孔單元是實(shí)現(xiàn)螺旋銑孔加工的有效設(shè)備，該單元類似于機(jī)床主軸部分，其動態(tài)特性對于能否順利實(shí)現(xiàn)切削加工起著關(guān)鍵作用。

關(guān)于機(jī)床主軸及電主軸的研究可以為分析螺旋銑孔主軸單元的特性提供指導(dǎo)。Cao 和 Altintas［1－2］使用有限單元理論建立了電主軸的數(shù)學(xué)模型，并對電主軸進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。傳遞矩陣方法( TMM) 是另一種簡單而通用的計(jì)算轉(zhuǎn)子動態(tài)特性的方法，無需系統(tǒng)全局動力學(xué)公式及降低系統(tǒng)階次，提高了計(jì)算效率。矩陣不隨系統(tǒng)自由度的增加而增加，可以在感興趣的任意頻率范圍內(nèi)獲得固有頻率，因此是解決轉(zhuǎn)子動力學(xué)研究的有效方法［3－4］，主要用于研究軸系、轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的彎曲和扭轉(zhuǎn)振動。蔣書運(yùn)［5－6］，孟杰［7］等使用傳遞矩陣方法，建立了主軸或電主軸的動力學(xué)模型，研究了高速電主軸的動態(tài)特性，同時進(jìn)行了主軸的動態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

本文基于螺旋銑孔加工原理設(shè)計(jì)了螺旋銑孔主軸單元，通過改進(jìn)的整體傳遞矩陣方法分析了該主軸單元的前四階固有頻率特性，并通過有限元軟件進(jìn)行了驗(yàn)證。最后對影響主軸固有頻率特性的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了詳細(xì)分析。

1 、螺旋銑孔主軸單元的設(shè)計(jì)

螺旋銑孔的加工原理為: 刀具自轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)上圍繞孔加工中心公轉(zhuǎn)并保持軸向進(jìn)給。是一種先進(jìn)的制孔工藝技術(shù)，一把刀具可以加工一系列直徑的孔［8］。基于此加工原理設(shè)計(jì)了螺旋銑孔主軸單元，如圖 1 所示。該主軸單元由三層轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)組成，轉(zhuǎn)子之間通過滾動軸承傳遞運(yùn)動，并分別通過旋轉(zhuǎn)電機(jī)連接，無任何附加的傳動件。最外層轉(zhuǎn)子為大偏心套筒，中間轉(zhuǎn)子為小偏心套筒及氣動馬達(dá)定子，最里層轉(zhuǎn)子為氣動馬達(dá)轉(zhuǎn)子。其工作原理為: 主軸單元工作前，根據(jù)螺旋銑專用刀具直徑及所要加工孔的直徑，通過與小旋轉(zhuǎn)電動機(jī)連接的大小兩偏心套筒的位置調(diào)整最終偏心距離( 刀具軸心與孔軸心) ，之后小旋轉(zhuǎn)電動機(jī)鎖定，氣動馬達(dá)轉(zhuǎn)子( 圖中未顯示) 以不超過 5 000 r/min 自轉(zhuǎn)，同時第二層和第三層轉(zhuǎn)子由大旋轉(zhuǎn)電動機(jī)的轉(zhuǎn)子帶動，繞孔中心以 180～300 r/min 做公轉(zhuǎn)，此外，大旋轉(zhuǎn)電動機(jī)定子與支座連接，支座與進(jìn)給工作臺或工業(yè)機(jī)器人相連接，以便實(shí)現(xiàn)軸向進(jìn)給。

2 、基于整體傳遞矩陣方法的螺旋銑主軸單元分析

2. 1 螺旋銑主軸單元的特點(diǎn)

螺旋銑主軸單元整個結(jié)構(gòu)類似于行星輪，多速度多轉(zhuǎn)子是其典型特征，雙偏心是螺旋銑孔主軸單元的主要特點(diǎn)及技術(shù)保證［9］。因此，主軸單元的動態(tài)特性分析不同于一般的主軸。對于螺旋銑孔主軸單元，由于雙偏心套筒結(jié)構(gòu)，軸向位置與離散軸段的極慣性矩有關(guān)。圖 2 描述了基于傳遞矩陣方法的螺旋銑主軸單元的集中質(zhì)量模型。

2. 2 修改的整體傳遞矩陣方法

2. 2. 1 傳遞矩陣

整體傳遞矩陣方法在文獻(xiàn)［6］中已有詳細(xì)的介紹。不過在本章中需要根據(jù)螺旋銑主軸單元的結(jié)構(gòu)進(jìn)行修改，不只限于考慮多轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的配合及軸承的支承剛度，還要考慮結(jié)構(gòu)的雙偏心特點(diǎn)及類似于行星輪的自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)。由于主軸單元中有 3 個轉(zhuǎn)子，因此根據(jù)整體傳遞矩陣方法，相鄰單元可以按下式傳遞:

2. 2. 2 計(jì)算軸承剛度

軸承為主軸單元中的重要部件，其類型、配置、精度及冷卻與主軸單元的工作特性直接有關(guān)。由于角接觸球軸承具有低的摩擦特性并能抵抗軸向和徑向的外部載荷的作用，在主軸單元中使用較多。一般主軸至少具有兩套軸承系統(tǒng)。最常見的是轉(zhuǎn)子位于兩套軸承之間。由于螺旋銑孔過程中軸向力稍大于徑向力，25°角接觸球軸承既能承受徑向力，又能承受較大的軸向載荷，因此用于該主軸單元中。

當(dāng)軸承安裝時，需要載荷的作用，由此可以計(jì)算軸承的剛度，如果軸承在軸向載荷下工作，大致的徑向剛度［10］為:

當(dāng)軸承轉(zhuǎn)速超過 10 000 r/min 時，軸承剛度有逐漸軟化的趨勢，而當(dāng)轉(zhuǎn)速為 18 000 r/min 時，動態(tài)剛度約為靜態(tài)剛度的 92%［5］，對于螺旋銑主軸單元，自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速都不超過 7 000 r/min，則軸承剛度被認(rèn)為等同于上面計(jì)算的靜態(tài)剛度。

2. 2. 3 雙偏心

偏心會影響切削力的作用效果，由于主軸中第二階及第三階轉(zhuǎn)子全長存在偏心，因此第二階和第三階轉(zhuǎn)子的傳遞矩陣必須乘上偏心矩陣。

2. 2. 4 自轉(zhuǎn)公轉(zhuǎn)系統(tǒng)

多速度多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中每一轉(zhuǎn)子都有其自身的速度，有些速度為同步進(jìn)動有些則為非同步進(jìn)動速度，當(dāng)計(jì)算臨界轉(zhuǎn)速時，在不平衡響應(yīng)的慣量計(jì)算時必須考慮轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)。

轉(zhuǎn)子的進(jìn)動角速度定義為 Ω，所有轉(zhuǎn)子都具有自身的角速度，代入上面的公式來計(jì)算慣性矩。主軸單元為三轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，從里到外第一層轉(zhuǎn)子既自轉(zhuǎn)又公轉(zhuǎn)，第二層與第三層轉(zhuǎn)子只有公轉(zhuǎn)。假設(shè) ω1為自轉(zhuǎn)角速度，ω2為公轉(zhuǎn)角速度。當(dāng)需要計(jì)算由第一階轉(zhuǎn)子所激起的固有頻率時，Ω=ω1+ω2，那么公式( 5) 中的 ω 需用第二階或第三階傳遞矩陣中的 ω2來代替，以便獲得一組固有頻率。同樣的，當(dāng)需要計(jì)算由第二階或第三階傳遞矩陣激起的固有頻率時，Ω = ω2，則公式中的 ω 需要用 ω1+ω2來代替以獲得另一組固有頻率值。

2. 3 計(jì)算動態(tài)特性

2. 3. 1 固有頻率計(jì)算

基于修改的整體傳遞矩陣方法可以獲取主軸的頻率函數(shù)。考慮螺旋銑設(shè)備本身的動態(tài)特性，排除掉刀夾與刀具的影響，轉(zhuǎn)子為兩端自由，則有:

由于主軸單元的三轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)及其所存在的偏心，根據(jù)公式( 3) 與( 4) 計(jì)算化簡后得六行六列矩陣可以作為計(jì)算依據(jù)( 具體計(jì)算及化簡過程參考文獻(xiàn) :

其中左側(cè)矩陣為傳遞矩陣與偏心矩陣相乘，無法對元素 a 命名，角碼為化簡前該元素所在行數(shù)與列數(shù)。由于 θ 和 y 在主軸單元的第一段和最后一段為非零值，從公式( 8) 中得到:

系統(tǒng)的臨界角速度可以通過求解公式( 9) 來求得，從而轉(zhuǎn)換成固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速。

2. 3. 2 計(jì)算結(jié)果

基于上面的分析，使用 MATLAB 軟件分析螺旋銑主軸單元的動態(tài)特性，由轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)所激發(fā)的固有頻率列于表 1 所示。

系統(tǒng)自轉(zhuǎn)所激發(fā)的固有頻率小于公轉(zhuǎn)激發(fā)的固有頻率，整個系統(tǒng)的固有頻率將位于兩值之間。為了下面的簡化分析及考慮實(shí)際情況，系統(tǒng)自轉(zhuǎn)所激發(fā)的固有頻率作為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的原始值，如表 1 所示，第一階固有頻率為 816. 5 Hz，因此第一階臨界轉(zhuǎn)速約為 48 988r / min。由于主軸單元的公轉(zhuǎn)速度不超過 300 r / min，自轉(zhuǎn)速度不超過 7 000 r/min，整個結(jié)構(gòu)工作在安全狀態(tài)。

表 1 主軸單元的固有頻率

2. 3. 3 諧響應(yīng)分析

諧響應(yīng)是動態(tài)特性的重要評價指標(biāo)，螺旋銑主軸單元的響應(yīng)分析結(jié)果如圖 3 所示。

在 2 000 Hz 頻率范圍內(nèi)有四階固有頻率被激振，在相關(guān)點(diǎn)處動態(tài)剛度將急劇下降，最終導(dǎo)致主軸及刀具變形或不穩(wěn)定振動，降低加工特性。第一階固有頻率 816. 5 Hz 的振動幅值大小為 0. 48 mm /N，相應(yīng)的動態(tài)剛度為 2. 08 N /mm。那么，影響螺旋銑主軸單元動態(tài)特性的主要因素基于頻率響應(yīng)的分析來進(jìn)行。

2. 3. 4 有限元分析

為了驗(yàn)證傳遞矩陣方法計(jì)算的自然頻率的結(jié)果，螺旋銑主軸單元使用有限元軟件進(jìn)行了建模，使用ANSYS 軟件得到的裝配體的固有頻率( 臨界轉(zhuǎn)速) 如圖 4 所示，計(jì)算結(jié)果也列于表 1 中。可以看出，主軸單元的固有頻率在兩種計(jì)算方式( 傳遞矩陣方法和有限元方法) 下基本一致，進(jìn)一步說明了傳遞矩陣數(shù)學(xué)模型的有效性。

3 、設(shè)計(jì)變量分析

影響主軸單元系統(tǒng)動態(tài)特性的因素主要有軸承的配置、主軸單元的直徑與長度等。本節(jié)主要考慮與軸承有關(guān)的軸承跨距、軸承剛度、偏心距、主軸單元的總長度等因素對固有頻率( 臨界轉(zhuǎn)速) 的影響，每次改變變量中的一個來分析。由于 6 個設(shè)計(jì)變量的單位不同，其對主軸單元動態(tài)特性的影響也不同，無量綱化處理作為分析相對重要性的簡便而有效的方法，可以用來清楚了解 6 個設(shè)計(jì)變量對固有頻率影響的重要程度。

基于靈敏度分析了設(shè)計(jì)變量對固有頻率的影響。設(shè)計(jì)變量的定義見表 2 所示。

表 2 需要考慮的設(shè)計(jì)變量

從圖 5 中可以看出，單元總長度( 1) 對第一階和第二階固有頻率影響較大，不過當(dāng)總長度增加時，固有頻率下降。大軸承跨距( 2) 對第一階固有頻率影響較大，小軸承跨距( 3) 對第二階固有頻率影響較大，都是正相關(guān)，因此若當(dāng)高速螺旋銑單元設(shè)計(jì)時，這兩個變量應(yīng)該予以仔細(xì)考慮。此外，由于軸承剛度具有大的振幅，因此如果系統(tǒng)的第一階固有頻率作為設(shè)計(jì)目標(biāo)，相對重要的設(shè)計(jì)變量為單元總長度，大軸承跨距和大軸承剛度。

4 、結(jié)語

螺旋銑孔過程中，刀具在自轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行公轉(zhuǎn)并保持軸向進(jìn)給。為了實(shí)現(xiàn)螺旋銑孔工藝，基于螺旋銑孔基本加工原理設(shè)計(jì)了螺旋銑孔主軸單元，該單元為三轉(zhuǎn)子，雙偏心結(jié)構(gòu)。基于修改的整體傳遞矩陣方法對螺旋銑孔主軸單元進(jìn)行了固有頻率的分析，結(jié)果顯示，該主軸單元工作轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于第一階臨界轉(zhuǎn)速。同時有限元分析結(jié)果顯示螺旋銑孔主軸單元固有頻率理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值的誤差不超過 11%，進(jìn)一步說明了理論計(jì)算結(jié)果的正確性。為了分析設(shè)計(jì)變量對主軸單元固有頻率的影響，基于靈敏度分析了軸承跨距、軸承剛度、主軸單元長度等設(shè)計(jì)變量對固有頻率的影響，結(jié)果顯示，影響第一階固有頻率的主要參數(shù)為軸承跨距、軸承剛度及單元總長。

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