基于切比雪夫多項(xiàng)式的數(shù)控機(jī)床幾何誤差參數(shù)化建模
2017-12-29 來源： 浙江衢州廣播電視 浙江大學(xué)機(jī)械工程 作者：郭然 付國強(qiáng) 孫磊 傅建中
摘要: 為了快速精確地建立機(jī)床幾何誤差項(xiàng)數(shù)學(xué)模型，提出了一種基于切比雪夫多項(xiàng)式的參數(shù)化建模方法。首先針對測量得到的機(jī)床基本幾何項(xiàng)數(shù)據(jù)，將機(jī)床相應(yīng)運(yùn)動軸進(jìn)給量轉(zhuǎn)化為切比雪夫變量。其次將切比雪夫變量代入不同階次的切比雪夫多項(xiàng)式得到相應(yīng)的值。然后根據(jù)切比雪夫基函數(shù)值和切比雪夫變量用多元線性回歸方法獲得相應(yīng)的系數(shù)，得到關(guān)于切比雪夫基函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。最后將運(yùn)動軸進(jìn)給量與切比雪夫變量之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系代入得到基本幾何誤差項(xiàng)的數(shù)學(xué)模型。建模過程簡單且易程序化，切比雪夫多項(xiàng)式的高逼近精度使得建立的模型精度高。將所有幾何誤差項(xiàng)參數(shù)化模型代入機(jī)床幾何誤差模型綜合數(shù)學(xué)模型，從而可得到機(jī)床工作空間幾何誤差場分布。以MV-5A 三軸立式加工中心為例，將各個幾何誤差項(xiàng)參數(shù)化模型代入機(jī)床幾何誤差模型中得到該機(jī)床綜合幾何誤差數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而得到該機(jī)床工作空間幾何誤差場分布，為機(jī)床設(shè)計(jì)和誤差補(bǔ)償提供了理論依據(jù)。
關(guān)鍵詞: 數(shù)控機(jī)床 幾何誤差 參數(shù)化建模 切比雪夫多項(xiàng)式
引言
隨著制造業(yè)的快速發(fā)展以及工件精度要求和復(fù)雜度的提高，對機(jī)床精度的要求越來越高。機(jī)床幾何誤差和熱誤差是影響機(jī)床加工精度的主要因素，占60%以上［1 － 2］。而幾何誤差的建模和補(bǔ)償是提高機(jī)床精度的一種重要途徑。數(shù)控機(jī)床幾何誤差建模大多是基于多體理論建立齊次變換矩陣得到機(jī)床幾何誤差［3 － 6］。同時坐標(biāo)系之間的微分變換關(guān)系和指數(shù)積理論也分別被用來進(jìn)行誤差建模和補(bǔ)償［7 － 9］。根據(jù)模型進(jìn)行補(bǔ)償?shù)那疤崾菙?shù)控機(jī)床基本幾何誤差項(xiàng)數(shù)據(jù)。三軸數(shù)控機(jī)床的21 項(xiàng)幾何誤差可通過激光干涉儀、球桿儀、激光跟蹤儀等裝置采用相應(yīng)的測量方法得到。得到的誤差項(xiàng)數(shù)據(jù)是離散數(shù)據(jù)，反映了機(jī)床行程一系列點(diǎn)的誤差，這就需要建立機(jī)床基本誤差項(xiàng)的參數(shù)化模型，即建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。很多學(xué)者采用了不同的方法來建立基本誤差項(xiàng)的模型［10 － 11］。Fan 等［12］引入正交多項(xiàng)式回歸法根據(jù)測量得到的誤差數(shù)據(jù)建立機(jī)床主軸熱誤差模型，又采用正交多項(xiàng)式回歸法建立機(jī)床幾何誤差項(xiàng)數(shù)學(xué)模型［13］。Lee 等根據(jù)幾何誤差項(xiàng)的性質(zhì)建立了合理的多項(xiàng)式模型，然后進(jìn)行誤差測量辨識得到相應(yīng)的系數(shù)［14］。
切比雪夫多項(xiàng)式在函數(shù)逼近方面比泰勒展開式有更高的精度。切比雪夫多項(xiàng)式已經(jīng)在數(shù)字信號處理、衛(wèi)星軌道、氣象學(xué)中得到廣泛應(yīng)用［15］。相比于最小二乘法多項(xiàng)式擬合，隨著擬合次數(shù)的增加，切比雪夫多項(xiàng)式各部分誤差減小，精度增加［16］。本文提出一種基于切比雪夫多項(xiàng)式的機(jī)床幾何誤差項(xiàng)參數(shù)化建模方法。首先根據(jù)辨識得到的數(shù)據(jù)，結(jié)合幾何切比雪夫多項(xiàng)式性質(zhì)，將機(jī)床位移變量進(jìn)行變換。然后計(jì)算得到各個不同次數(shù)的切比雪夫多項(xiàng)式基函數(shù)的系數(shù)，接著代入機(jī)床位移變量轉(zhuǎn)換關(guān)系展開得到相應(yīng)的幾何誤差項(xiàng)參數(shù)化模型。將幾何誤差項(xiàng)參數(shù)化模型代入機(jī)床綜合幾何誤差模型得到相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，從而可計(jì)算得到機(jī)床誤差場分布，為機(jī)床設(shè)計(jì)和補(bǔ)償?shù)於ɑA(chǔ)。
1、 數(shù)控機(jī)床幾何誤差建模
三軸數(shù)控機(jī)床有21 項(xiàng)幾何誤差項(xiàng)。因?yàn)槊總€物體在空間上存在6 個自由度，所以每個運(yùn)動軸存在6 項(xiàng)基本誤差項(xiàng)，包括3 項(xiàng)線性誤差和3 項(xiàng)轉(zhuǎn)角誤差。圖1 表示了X 軸的6 項(xiàng)基本誤差項(xiàng)。其中δxx、δyx、δzx分別是X、Y、Z 方向的線性誤差，εxx、εyx、εzx分別表示繞X、Y、Z 軸的轉(zhuǎn)角誤差。同時由于安裝制造等原因，各個運(yùn)動軸之間很難保證絕對的垂直，所以運(yùn)動軸之間存在垂直度誤差。其中X 軸和Y 軸之間的垂直度誤差為Sxy，X 軸和Z 軸之間的垂直度誤差為Sxz，而Y 軸和Z 軸之間的垂直度誤差為Syz。那么三軸數(shù)控機(jī)床存在18 項(xiàng)幾何誤差和3 項(xiàng)垂直度誤差。
圖1 X 軸6 項(xiàng)基本誤差項(xiàng)示意圖
幾何誤差建模是誤差補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)。本文以三軸立式加工中心MV-5A 為例，為XYFZ 型機(jī)床。圖2 所示為XYFZ 型機(jī)床結(jié)構(gòu)簡圖。該三軸數(shù)控機(jī)床可視為一個開環(huán)運(yùn)動鏈，該運(yùn)動鏈為工作臺—X 軸—Y 軸—床身—Z 軸—刀具。可以采用指數(shù)積理論對機(jī)床進(jìn)行幾何誤差建模，那么機(jī)床刀具相對于工作臺的位置誤差可表示為
其中x、y、z 分別表示X、Y、Z 軸的位移，px、py、pz分別表示刀具在X、Y、Z 方向上的位置誤差。為了能夠方便補(bǔ)償或者得到機(jī)床整個工作空間的誤差場分布，機(jī)床誤差模型應(yīng)該用數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示，這樣機(jī)床工作空間內(nèi)任意位置處誤差都可得到。而各個誤差項(xiàng)的參數(shù)化建模是基礎(chǔ)，首先應(yīng)建立誤差項(xiàng)相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式模型。
圖2 XYFZ 型機(jī)床結(jié)構(gòu)簡圖
2 、幾何誤差項(xiàng)參數(shù)化建模
三軸數(shù)控機(jī)床的21 項(xiàng)幾何誤差中，垂直度誤差與機(jī)床運(yùn)動軸位移無關(guān)，是恒定值。而運(yùn)動軸基本誤差項(xiàng)會隨著軸進(jìn)給量的變化而變化，同時只與軸本身位移有關(guān)，與其他軸無關(guān)，則運(yùn)動軸基本誤差項(xiàng)可表示為關(guān)于其位移的數(shù)學(xué)表達(dá)式。將各個誤差數(shù)學(xué)模型代入機(jī)床綜合幾何誤差模型就能夠得到機(jī)床綜合幾何誤差的數(shù)學(xué)表達(dá)式。MV-5A 三軸立式加工中心幾何誤差項(xiàng)可用激光干涉儀采用9 線法辨識得到。下面根據(jù)辨識得到的MV-5A 機(jī)床幾何誤差項(xiàng)數(shù)據(jù)，采用切比雪夫多項(xiàng)式對幾何誤差進(jìn)行參數(shù)建模。
2. 1 切比雪夫多項(xiàng)式
切比雪夫多項(xiàng)式是以遞歸方式定義的一系列正交多項(xiàng)式。第1 類切比雪夫多項(xiàng)式的根用于多項(xiàng)式插值時可最大限度的降低龍格現(xiàn)象，可實(shí)現(xiàn)連續(xù)函數(shù)的最佳逼近。則第1 類切比雪夫多項(xiàng)式可由以下遞推關(guān)系得到，即
數(shù)。基于切比雪夫多項(xiàng)式進(jìn)行擬合時，需要將變量定義域轉(zhuǎn)換為［－ 1，1］，來確保切比雪夫多項(xiàng)式的精確性。切比雪夫多項(xiàng)式可用到幾何誤差項(xiàng)的參數(shù)化建模中。
2. 2 參數(shù)化建模步驟
MV-5A 三軸數(shù)控機(jī)床X 軸基本誤差項(xiàng)見表1。以X 軸x 方向的線性誤差δxx為例進(jìn)行基于切比雪夫多項(xiàng)式的參數(shù)化建模。
( 1) 機(jī)床X 軸行程為600 mm，應(yīng)轉(zhuǎn)換到切比雪夫多項(xiàng)式定義域［－ 1，1］內(nèi)，則需要對其進(jìn)行線性歸一化，相應(yīng)的變量轉(zhuǎn)換關(guān)系為
( 2) 構(gòu)建不同次數(shù)的切比雪夫多項(xiàng)式基函數(shù)，并計(jì)算每個測量位置處對應(yīng)的不同次數(shù)的切比雪夫值。表2 所示為不同項(xiàng)的切比雪夫基函數(shù)值。前5 項(xiàng)切比雪夫多項(xiàng)式可表示為
表1 X 軸6 項(xiàng)幾何誤差數(shù)據(jù)
表2 不同次數(shù)的切比雪夫基函數(shù)值
( 3) 計(jì)算切比雪夫多項(xiàng)式基函數(shù)對應(yīng)的回歸系數(shù)。幾何誤差項(xiàng)的切比雪夫多項(xiàng)式模型可表示為
其中αi是切比雪夫多項(xiàng)式回歸系數(shù)。采用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合得到回歸系數(shù)，回歸系數(shù)與誤差數(shù)據(jù)之間的關(guān)系可表示為
A 和B 矩陣可根據(jù)式( 5) 中相應(yīng)的表達(dá)式代入測量數(shù)據(jù)計(jì)算獲得，從而計(jì)算得到切比雪夫多項(xiàng)式回歸系數(shù)。這里對于表1 中的δxx，m = 11，選擇3 階切比雪夫多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，即k = 3 進(jìn)行計(jì)算，則式( 5) 表示為
得到的關(guān)于切比雪夫多項(xiàng)式基函數(shù)的擬合多項(xiàng)式為
( 4) 將切比雪夫基函數(shù)代入基于切比雪夫多項(xiàng)式的擬合函數(shù)中得到關(guān)于切比雪夫變量的多項(xiàng)式。即將式( 3) 代入到式( 4) 中可得到
( 5) 根據(jù)變量轉(zhuǎn)換關(guān)系得到最終的基本誤差參數(shù)化模型和誤差曲線。即將式( 2) 代入到式( 6) 中得到基本誤差項(xiàng)關(guān)于運(yùn)動軸進(jìn)給量的多項(xiàng)式數(shù)學(xué)模型。δxx數(shù)學(xué)模型可表示為
圖3 為δxx誤差的切比雪夫多項(xiàng)式擬合曲線以及相應(yīng)的殘差曲線。
圖3 δxx誤差擬合曲線及相應(yīng)的殘差曲線
基于切比雪夫多項(xiàng)式的幾何誤差參數(shù)化建模可以得到幾何誤差的數(shù)學(xué)模型。切比雪夫多項(xiàng)式基函數(shù)將多項(xiàng)式擬合過程轉(zhuǎn)換為多元線性回歸，這樣使得計(jì)算簡單且易程序化。且由于切比雪夫多項(xiàng)式的逼近精度高，建立的數(shù)學(xué)模型的精度和準(zhǔn)確性大大提高。整個參數(shù)化建模過程可實(shí)現(xiàn)程序化，實(shí)現(xiàn)幾何誤差的自動化建模。圖4 為基于切比雪夫多項(xiàng)式的幾何誤差參數(shù)化建模流程圖。三軸數(shù)控機(jī)床18 項(xiàng)基本幾何誤差項(xiàng)按照此方法建立相應(yīng)的參數(shù)化數(shù)學(xué)模型，然后將數(shù)學(xué)模型代入機(jī)床綜合幾何誤差模型中得到機(jī)床綜合幾何誤差的完整數(shù)學(xué)模型。
圖4 基于切比雪夫多項(xiàng)式的幾何誤差參數(shù)化建模流程圖
3 、實(shí)驗(yàn)
采用美國光動公司的MCV-500 型激光干涉儀測量MV-5A 三軸立式加工中心的幾何誤差項(xiàng)。由于MCV-500 型激光干涉儀可以同時測量定位誤差和直線度誤差，所以采用9 線法來測量幾何誤差。圖5 所示為激光干涉儀測量機(jī)床幾何誤差。然后根據(jù)提出的基于切比雪夫多項(xiàng)式的幾何誤差參數(shù)化建模方法建立各個基本誤差項(xiàng)的數(shù)學(xué)模型。X、Y 和Z軸的基本幾何誤差數(shù)學(xué)模型為
圖6 為X 軸基本誤差項(xiàng)數(shù)學(xué)模型曲線，包括3 項(xiàng)線性誤差和3 項(xiàng)轉(zhuǎn)角誤差。X 軸線性誤差的殘差為［－ 1. 269，1. 20］μm，轉(zhuǎn)角誤差數(shù)學(xué)模型的殘差范圍為［－ 1. 64，2. 29］μrad。圖7 表示Y 軸的基本誤差項(xiàng)數(shù)學(xué)模型曲線。圖8 表示Z 軸的基本誤差項(xiàng)數(shù)學(xué)模型曲線。建立的基本誤差參數(shù)化模型精度足夠高，可以很好地表示誤差數(shù)據(jù)。將基本誤差項(xiàng)模型代入式( 1) 得到MV-5A 三軸立式加工中心的幾何誤差數(shù)學(xué)模型為
圖5 激光干涉儀測量機(jī)床幾何誤差
圖6 X 軸基本誤差項(xiàng)數(shù)學(xué)模型曲線
圖7 Y 軸基本誤差項(xiàng)數(shù)學(xué)模型曲線
圖8 Z 軸基本誤差項(xiàng)數(shù)學(xué)模型曲線
該模型即關(guān)于X、Y、Z 軸運(yùn)動量的表達(dá)式。機(jī)床工作空間上任意一點(diǎn)的幾何誤差都可以根據(jù)此數(shù)學(xué)模型計(jì)算得到。建立的綜合誤差數(shù)學(xué)模型可以很好地預(yù)測機(jī)床的幾何誤差，可以得到機(jī)床的誤差場分布，機(jī)床幾何誤差場分布可以為幾何誤差補(bǔ)償提供幫助，為后續(xù)補(bǔ)償?shù)於ɑA(chǔ)。圖9 表示了在z =100 mm 處工作平面上的Z 方向上的幾何誤差以及綜合線性誤差分布。圖10 顯示了機(jī)床整個工作空間的誤差場分布。通過對誤差場分析可以得到機(jī)床部件安裝、制造對機(jī)床精度的影響，有利于提高機(jī)床精度。比如可分析得到機(jī)床導(dǎo)軌的制造與安裝對機(jī)床的影響，從而對導(dǎo)軌進(jìn)行調(diào)整來提高機(jī)床精度。誤差場分布也有助于機(jī)床的設(shè)計(jì)制造。
圖9 在z = 100 mm 平面處誤差分布
圖10 工作空間的幾何誤差場
4 、結(jié)束語
數(shù)控機(jī)床幾何誤差項(xiàng)參數(shù)化模型是建立機(jī)床幾何誤差數(shù)學(xué)模型和進(jìn)行補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)。本文運(yùn)用切比雪夫多項(xiàng)式提出了幾何誤差項(xiàng)參數(shù)化建模方法。切比雪夫多項(xiàng)式基函數(shù)將多項(xiàng)式擬合過程轉(zhuǎn)換為多元線性回歸，這樣使得計(jì)算簡單且易程序化。以MV-5A 三軸立式加工中心測量得到的δxx為例闡述參數(shù)化建模過程，首先根據(jù)幾何誤差項(xiàng)測量數(shù)據(jù)建立機(jī)床運(yùn)動量和切比雪夫多項(xiàng)式變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。然后根據(jù)切比雪夫多項(xiàng)式基函數(shù)計(jì)算不同階次的切比雪夫多項(xiàng)式值。接著采用最小二乘法得到切比雪夫多項(xiàng)式基函數(shù)的系數(shù)，從而得到關(guān)于切比雪夫變量的多項(xiàng)式模型。最后代入機(jī)床運(yùn)動量和切比雪夫342 農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)2 0 1 5 年變量轉(zhuǎn)換關(guān)系得到幾何誤差項(xiàng)參數(shù)化模型。機(jī)床18 項(xiàng)基本誤差項(xiàng)都可得到參數(shù)化模型，由于切比雪夫多項(xiàng)式的逼近精度高，建立的參數(shù)化模型的精度和準(zhǔn)確性大大提高，且整個參數(shù)化建模過程實(shí)現(xiàn)了程序化，從而實(shí)現(xiàn)了幾何誤差的自動化建模。
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