摘 要：為了實現故障數據按故障機制的分類，使用競爭威布爾模型對加工中心可靠性進行評估，通過故障特
征屬性和故障信息序列概念的定義，以故障信息序列表示故障，利用模糊聚類的方法對故障信息序列按故障機制
相似性進行分類；利用自助法和基于灰色預測的改進自助法實現小子樣評估中威布爾模型的參數估計；通過實例
驗證了該模型和方法的可用性。
０、 引言
加工中心的使用性能是否穩定可靠，是用戶判別產品質量好壞的重要依據，因此開展可靠性工作對制造企業贏得市場占有率具有重要意義?？煽啃栽u估是了解產品可靠性水平的重要手段，其常用的壽命分布類型主要有指數分布、正態分布、對數正態分布和威布爾分布，威布爾分布是描述機械系統及其零部件壽命分布規律最常用的一種分布形式［１］，賈亞洲［２－３］等也證明了加工中心故障數據服從威布爾分布。對于復雜的可修系統，其故障數據一般為非獨立同分布［４］，這就意味著單一的威布爾模型并不適用于加工中心的可靠性評估。對于多種故障機制并存的加工中心，常用的可靠性評估模型是混合威布爾模型和競爭威布爾模型。文獻［５－７］討論了混合威布爾模型的使用及權重、參數的估計方法，其中文獻［６］證實混合分布中子分布所對應的數據是連續的順序統計量，這明顯不符合加工中心多故障機制的壽命過程。文獻［８－１０］使用競爭故障模型對產品可靠性進行了評估，但都是利用完備的故障信息、針對具體的故障模式或故障過程建立競爭故障模型。
本文使用競爭威布爾模型對加工中心可靠性進行評估，是在難以獲得完備故障信息的情況下，圍繞威布爾模型的物理背景和使用條件，針對故障特性本身提出故障特征屬性和故障信息序列的概念及其表示方法，以故障固有的特征信息來描述故障機制之間的區別和聯系。本文以故障應力相似性表征故障機制的相似性，進而實現對故障數據的分類。忽
略故障機制的差異，用單一模型擬合全部故障數據是普通威布爾模型最大的缺陷，而本文競爭威布爾模型的使用正是對這一缺陷的彌補。使用競爭威布爾模型進行可靠性評估，最重要的就是實現不同故障機制的故障數據的分類，這是競爭威布爾評估模型的基礎，更是本文的核心內容；但這也導致可靠性評估必然是小子樣的，本文使用自助法［１１］（ｂｏｏｔｓｔｒａｐ法）解決小子樣情形下的威布爾模型參數估計問題。故障數據分類帶來的另一問題是不同故障機制所對應的故障數據存在不同的截尾時間，本文利用改進灰色自助法解決這一問題，通過增加預測故障數據，很好地利用各偽截尾時間和截尾時間之間的可靠性信息，該方法也是本文的一個特點。綜上所述，本文給出了利用加工中心現場故障數據、使用競爭威布爾模型進行建模評估的具體方法，主要包括基于故障特征屬性的故障信息序列的建立、基于模糊聚類分析的故障數據聚類、小子樣可靠性評估的Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ法，以及用以處理偽定時截尾數據的基于灰色預測的改進Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ法。
１ 、競爭威布爾評估模型威布爾模型的失效分布函數為
其物理背景為：在一條金屬鏈條兩端施加一個拉力，當其中一個環斷裂時，整個鏈條也就斷裂，鏈條的壽命取決于最弱環的壽命長度。由此可知其適用條件為：
（１）建模對象為系統組成要素的壽命長度，即建模對象應該是故障發生時間，而不是故障間隔時間。故障間隔時間是加工中心可靠性評估時最常用的特征指標，這是基于可修特性的。但是在不考慮維修影響的情況下，其故障普遍是由不同零部件損壞導致的，不相關的零部件故障的間隔時間是沒有意義的。
（２）系統各要素壽命獨立同分布，即要求故障機制相同，至少是相似。系統壽命的分布統計，本質上是針對某種失效特性考察其平均失效時間，對于多種故障機制混合的情況，簡單的統計分析沒有任何意義，因為在忽略物理意義的情況下，任何一組數據都可以得到極高精度的曲線擬合?；谝陨峡紤]，本文利用系統故障時間，采用競爭威布爾模型進行加工中心的可靠性評估。競爭威布爾模型是用不同的威布爾分布表征不同的故障機制，是對多種故障機制共同作用結果的一種描述。當有ｋ種故障機制獨立地作用于系統時，其中任何一種故障機制單獨作用都會引發故障，最早發生的故障將導致系統故障，即Ｔ＝ｍｉｎ｛Ｔ１，Ｔ２，…，Ｔｋ｝，這種故障形式稱為競爭性故障，評估存在競爭性故
障的威布爾模型稱為競爭威布爾模型。設Ｆｉ（ｔ）為Ｔｉ的累積失效分布函數，系統的累積失效分布函數為
２ 、故障數據預處理
加工中心的現場故障數據來源于機床生產廠家的維修記錄，主要包括對故障時間、維修時間的記錄和故障現象、維修方式的簡單描述。由于故障記錄信息不完備，來源于加工中心使用現場的故障數據無法直接歸類分析。利用競爭威布爾模型進行評估，必須解決故障數據（ｔ１，ｔ２，…，ｔｎ）向ｋ 種故障機制數據（ｔ（ｉ）
１ ，…，ｔ（ｉ）ｍ ）分離的問題，故障數據的分離本質上是進行故障機制分析，然而由于信息缺乏和工作量巨大，故障機制分析是無法完成的工作。本文通過故障樹分析（Ｆａｉｌｕｒｅ Ｔｒｅｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ，ＦＴＡ）建立故障的特征屬性集合，進而用數學的方法建立故障與故障應力的關系，以故障應力相似性表征故障機制的相似性，得出表征故障特性的故障信息序列，對故障信息序列進行模糊聚類分析，將故障數據進行分類，從而避開故障機制的分析，滿足了競爭威布爾模型的要求。
２．１ 故障特征屬性和故障信息序列
通常，故障是用故障模式、故障機制和故障應力三要素來表征的，故障機制是故障應力發生作用直到導致故障模式發生的動態或靜態過程，由于機械系統的復雜性，這三要素間往往存在多種組合關系，如圖１所示。在加工中心有多種故障機制，即使一個簡單的零件斷裂，其形成的原因和過程也不只一種，再加上故障的傳遞等復雜過程，故障機制很難用簡單的方式或公式敘述清楚。
使用威布爾模型進行系統可靠性分析，必須滿足的條件是故障應力在系統各零部件上發生作用的過程一致或相近。對故障機制影響最大的因素是故障應力，相同的故障應力作用過程相似，不同的應力作用過程則肯定不同。為避免故障機制的分析，本文采用故障應力的相似性表征故障機制的相似性，用模糊評判的數學方法建立故障與故障應力之間的關系，并以模糊評判結果作為故障信息序列，以表征各故障對應的故障機制特性。
建立故障信息序列的過程即分析不同的故障與所有故障應力之間關系的過程，為表征故障的特性，以便深入分析故障與故障應力的關系，本文定義故障特征屬性為導致故障發生的隨機故障事件或隨機故障事件的集合。
隨機故障事件是在故障應力作用下發生的、具有一定隨機性的事件，其發生不依賴于其他故障事件，但能導致其他故障事件的發生，因此隨機故障事件也就是故障樹分析中的底事件，而故障的特征屬性就是故障樹的最小割集。隨機故障事件是故障應力作用的直接對象，是故障機制的發生載體，故以隨機故障事件表征系統故障，能更容易得到系統故障與故障應力之間的關系。以Ｆ 表示系統故障進行ＦＴＡ 分析，得到ｎ 個導致故障Ｆ 發生的最小割集（ｆ１，ｆ２，…，ｆｎ）。以最小割集作為故障Ｆ 的特征屬性，則故障Ｆ 的特殊屬性集合表示為Ｆ＝（ｆ１，ｆ２，…，ｆｎ）。通過模糊評判的方法建立系統故障特征屬性集合與系統故障應力集合Ｓ＝｛ｓ１，ｓ２，…，ｓｍ｝之間的關系：
步驟１ 建立故障特征屬性與故障應力之間的模糊關系。利用專家知識，通過二元對比排序法，得到故障特征屬性和故障應力之間的模糊關系矩陣
步驟２ 求得系統故障對各特征屬性的評判值，并以其作為特征屬性權重。利用專家打分的方式得到故障特征屬性的評價值，用以表征各最小故障事件發生的可能性，并以其作為故障特征屬性權重Ｗ ＝ （ｗ１，ｗ２，…，ｗｎ）。步驟３ 通過模糊推理得到系統故障對故障應力的評判值，即故障信息序列。
根據模糊變換原理，由各故障特征屬性的權重值和建立的模糊關系矩陣可得故障信息序列為
２．２ 故障數據的模糊聚類分析
以故障信息序列表征故障，信息序列中的數值表示各故障對應的故障機制的特征值，特征值的相似性標志故障機制的相似性。本文利用模糊聚類的方法分析各故障信息序列的相似性，并根據其相似性對其進行聚類分析。模糊聚類對象為故障信息序列集合｛Ｂ１，Ｂ２，…，Ｂｎ｝，其中每個對象Ｂｉ由一組數據（ｂｉ１，ｂｉ２，…，ｂｉｍ）組成，根據故障信息的相似度建立模糊相似矩陣Ａ＝（ａｉｊ）ｎ×ｎ，其中ａｉｊ表示故障Ｂｉ與Ｂｊ的相似度，
根據Ａλ將每列中元素１對應的Ｂ（即故障信息序列）劃歸為一類，從而實現故障數據按照故障機制的分類，完成競爭威布爾模型評估的故障數據預處理。
３、 模型參數估計
３．１ 威布爾模型參數的自助法估計
隨著科技的進步，加工中心已具有較高的可靠性，導致評估其可靠性水平所需的有效故障數據較少，加上故障數據的分類處理，使得故障數據很難滿足統計樣本量的要求，即競爭威布爾模型評估必然是小子樣的，本文采用自助法處理小子樣評估中威布爾模型參數的估計問題。自助法是美國Ｓｔａｎｆｏｒｄ大學統計教授Ｅｆｒｏｎ提出的一種再抽樣的統計方法，其主要思想是由原始觀察數據經過再抽樣獲得含量相等的自助樣本，用自助統計量與觀察統計量的關系逼近觀察統計量與真值之間的關系。
利用自助法進行威布爾分布參數估計的步驟如下：
步驟１ 威布爾模型線性化。
經過兩次求對數可以得到威布爾分布的線性回歸模型
將ｅｉ作為原始數據，利用自助法再抽樣產生１?。埃埃皞€自助樣本。步驟３ 將各個自助樣本中的ｅｉ分別與對應的＾ｙｉ相加，產生１?。埃埃皞€自助重復。步驟４ 根據步驟２中的式（９）和式（１０）計算各自助重復的ａ和ｂ 的估計值。
利用現場數據進行可靠性評估，對于整體故障數據（ｔ１，ｔ２，…，ｔｎ）而言，其具有定數截尾數據的特征，對（ｔ（ｉ）１ ，…，ｔ（ｉ）ｍ ）而言則具有定時截尾的特征，這是因為在ｔ（ｉ）ｍ ＜ｔ＜ｔｎ期間ｉ類故障未發生。在ｔ（ｉ）ｍ ＜ｔ＜ｔｎ期間，此種故障機制可能由于工作環境的改變而消失，也可能仍然在發生作用，但是由于工作應力或工作環境的作用，致使ｔｍ＋１（ｉ）＞ｔｎ而未被觀測到。
本文稱這種具有不同于定時截尾數據特征的故障數據為偽定時截尾數據。
３．２ 偽定時截尾數據威布爾模型參數估計偽定時截尾數據意味著存在某種故障應力在未被察覺的情況下發生作用，當條件適當時這種作用就會導致故障的發生，因此即使在考察期ｔ（ｉ）ｍ ＜ｔ＜ｔｎ內未發生故障，其對系統故障率仍具有一定貢獻。為更精確地評估這種故障數據對可靠性造成的影響，本文提出基于灰色預測的改進自助法來處理截尾數據，即以添加了灰色預測故障數據的序列Ｔ′ｉ代替原始故障數據序列Ｔｉ，利用自助法進行參數估計?；疑A測法是一種對含有不確定性因素的系統進行預測的方法，灰色時間序列預測是用觀察到的反映預測對象特征的時間序列來構建灰色預測模型，預測未來某一時刻的特征量。設原始序列為Ｘ（０）＝｛Ｘ（０）（１），Ｘ（０）（２），Ｘ（０）（３）｝，具體預測過程如下：
當ｋ＝３時，由式（１４）和式（１５）求得的＾Ｘ（０）（４）即為所求。
為更好地利用已有故障信息，本文認為對ｉ類故障機制，在ｔ（ｉ）ｍ ＜ｔ＜ｔｎ期間，故障的出現遵從非時齊泊松過程，其故障強度可以用故障率函數表示，即ｕ（ｔ）＝λ（ｔ）。通過故障強度計算期望故障數，可以確定是否需要增加預測故障數據ｔ′。基于灰色預測的改進自助法步驟為：
４ 、實例分析
以某型號臥式加工中心部分現場故障數據為例進行實例分析，故障集為Ｆ＝｛刀庫亂刀，刀具外部冷卻故障，主軸換刀故障，主軸振動異響，Ｙ 軸換刀不到位，Ｙ 軸振動異響，Ｂ 軸回轉精度降低，托架交換速度過快，托架交換停止｝，故障時間為Ｔ＝｛１６５ｈ，２０７ｈ，２５４ｈ，３０７ｈ，３６６ｈ，４３６ｈ，５１１ｈ，５９１ｈ，６７８ｈ｝。根據２．１節中的方法對各故障進行故障樹分析，得其故障特征屬性集合，依據專家知識及模糊推理方法可得各故障信息序列為：
根據式（６）和式（７）計算聚類對象｛Ｂ１，Ｂ２，…，Ｂｎ｝的模糊相似矩陣Ａ 的傳遞閉包，得
根據模糊聚類方法，聚類閾值λ ?。保埃梗梗础。?，０．９８６，０．９６７ ８，０．９２８，０．９２２ ２，０．９１７ ４，０．８６６ ６，０．８５０?。担⑶议撝翟酱蠓诸悢翟蕉?。取λ＝０．９１７?。春?lambda;＝０．８６６?。哆M行計算，得等價關系矩陣如下：
由此可以將故障數據集分為｛ｔ１，ｔ３，ｔ４，ｔ７，ｔ８｝，｛ｔ２，ｔ５，ｔ６｝，｛ｔ９｝三類和｛ｔ１，ｔ３，ｔ４，ｔ７，ｔ８，ｔ９｝，｛ｔ２，ｔ５，ｔ６｝兩類，考慮小樣本數據處理的要求，選擇λ＝０．８６６ ６的分類作為故障數據集聚類結果，即對應于競爭威布爾分布模型中兩個獨立分布的故障數據，分別為Ｔ１＝｛２０７，３６６，４３６｝和Ｔ２＝｛１６５，２５４，３０７，５１１，５９１，６７８｝。在不考慮故障數據截尾影響時，由參數的自助抽樣可以很容易得到其點估計和區間估計，兩個威布爾分布的參數自助法估計結果如表１所示。
表１ Ｔ１，Ｔ２的威布爾參數估計表
靠性指標計算如下：競爭威布爾模型故障率
競爭威布爾模型可靠度函數
失效密度函數
平均無故障時間
競爭威布爾分布與普通威布爾分布可靠度函數的對比如圖２所示，圖中實線表示競爭威布爾模型的可靠度函數曲線，虛線表示普通單威布爾模型的可靠度函數曲線?？梢园l現，由于考慮故障的復雜性和故障機制的多樣化，競爭威布爾模型的可靠度明顯低于普通威布爾模型的計算結果，考慮到競爭性故障客觀存在和“用戶可靠性感受明顯低于評估
結果”的現象，筆者認為這種結果是合理的。競爭性故障是獨立存在并作用于系統的，當某種故障機制的故障某時刻之后不再出現并且有足夠證據表明這種故障機制消失的情況下，系統的可靠度會出現一個跳躍性的突變，如圖３所示。當故障信息不足時，故障機制的消失點可以設為第３章中偽定時截尾數據處理時添加的最后一個預測故障時間ｔ（１）
５ 。
５ 、結束語
本文從加工中心可靠性評估中常用的威布爾模型的適用條件和物理背景出發，立足于故障機制的多樣性，最終目的是實現可靠性評估的統計意義與物理意義的結合。解決了競爭威布爾模型使用受限這一難題，實現了在缺乏完備系統故障信息情況下對故障數據的分類，在遵循可靠性評估立足于故障的前提下，避免了難度大、工作量大的故障機制探測
及分析工作。本文提出的故障特征屬性、故障信息序列以及偽定時截尾數據處理的概念和方法是解決本文問題的關鍵，是本文的創新所在，更是對研究故障特性、故障相關性和可靠性評估的有益探索。
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